Evariste Galois en de ontdekking van het mini-monster

Al in 1972 had ik in het boek Zahl und Zeit van dieptepsychologe Marie-Louise von Franz zien staan dat de algebraïsche vergelijking van de vijfde graad niet oplosbaar is via de bekende methoden als optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en het trekken van wortels. Zij ontleent hieraan een van de argumenten om tussen het getal vier en het getal vijf een grens te trekken. De eerste vier getallen zouden hun psychologische betekenis nog behouden hebben, maar bij het getal vijf begint als het ware de abstracte wiskunde. En die wiskunde was te moeilijk voor haar. Daarom is zij nooit toegekomen aan een onderzoek van de archetypische betekenis van vijf. Een reden te meer om eens te kijken wat er met die algebraïsche vergelijking aan de hand is.

 

Pas dit jaar had ik de moed om dat voornemen ook uit te voeren. Voor vergelijkingen van de tweede graad bestaat een methode die in het voortgezet onderwijs de abc-formule heet en op elegante wijze twee oplossingen genereert. Tenminste als er geen wortel van een negatief getal moet worden genomen. Want hoe je dat doet, vertellen de docenten onze kinderen niet. Dat is ook pas in de zestiende eeuw ontdekt toen er een methode beschikbaar kwam om vergelijkingen van de derde graad, dus met een term x3, op te lossen. Bij die methode moet je als tussenstap de wortel uit een negatief getal trekken en net doen alsof dat mogelijk is. Wiskundigen zijn er daarom toe overgegaan om dan maar een apart soort getal in te voeren, de imaginaire eenheid i, waarvan het kwadraat gelijk zou zijn aan min één: i2  = -1. Omdat we reële getallen als een oneindige rechte lijn voorstellen, kregen ook de imaginaire getallen van het type ip met p een reëel getal hun eigen meetkundige voorstelling: een oneindige rechte die loodrecht staat op de lijn van reële getallen. De reële en de imaginaire as spannen samen een tweedimensionale vlak op: het zogeheten complexe vlak.

 

 

 

Het fraaie aan dit vlak is dat de oplossingen van algebraïsche vergelijkingen daarin een meetkundige voorstelling krijgen. Als ik bijvoorbeeld de vergelijking x4 = 1 heb opgelost met de wortels +1, +i, -1, -i, dan kan ik die vier oplossingen netjes afbeelden op een cirkel in het complexe vlak. En bij de methode om een vergelijking van de derde graad op te lossen zie ik bij de beslissende tussenstap ineens in het complexe vlak een gelijkzijdige driehoek verschijnen waarvan de hoekpunten mij naar de drie oplossingen van de vergelijking gaan leiden. Een vergelijking van de vijfde graad heeft een term van het type px5, waarbij p een bekend getal en x de onbekende is. Zo’n vergelijking zou volgens Carl Friedrich Gauss vijf oplossingen moeten hebben, corresponderend met vijf punten in het complexe vlak. Maar blijkbaar ligt er iets dwars waardoor we deze vergelijking niet kunnen reduceren tot simpeler vergelijkingen waarvan de oplossingen met het trekken van wortels verkregen kunnen worden.

     

Tweehonderd jaar lang hebben wiskundigen met de vijfde-graadsvergelijking geworsteld. Er was heel wat denkwerk voor nodig om te begrijpen waarom x zich alleen in speciale gevallen, zoals bij de vergelijking x5  = 1, gemakkelijk prijsgeeft. Er zijn wel vijf oplossingen, maar hun onderlinge betrekkingen kunnen van dien aard zijn dat de oude, vertrouwde algebraïsche methoden falen. Dit werd bewezen door Évariste Galois, een van de meest invloedrijke wiskundigen aller tijden, die in 1832 rond zijn 21e door een duel om het leven kwam. Om de vijfdegraads-vergelijking te doorgronden ontwikkelde Galois de zogeheten groepentheorie. Terwijl in de gewone algebra letters gebruikt worden om getallen aan te duiden, is deze beperking in de groepentheorie opgegeven. De elementen van een groep kunnen betrekking hebben op alle mogelijke wiskundige bewerkingen zoals rotaties, spiegelingen, het schudden van een pak kaarten, etc. Met Galois begint de abstracte algebra. In het bijzonder gaf hij aan het begrip symmetrie een precieze algebraïsche betekenis. Inmiddels wemelt het in de natuurwetenschap van de symmetriegroepen. Zonder deze abstracte groepen zouden natuurkundigen in het onderzoek naar de wereld van elementaire deeltjes geen stap verder zijn gekomen. En dat allemaal vanwege een man die nooit de vruchten van zijn baanbrekende werk heeft geplukt. 

 

 

Évariste Galois (1811-1832)

 

 

Marie-Louise von Franz heeft inderdaad wel enigszins gelijk dat voorbij het getal vier het hek van de dam is. Zelf heeft zij in Zahl und Zeit een droom gepubliceerd waarin een bekende natuurkundige rond een vierkant met drie innerlijke figuren moet dansen. Er zijn 24 verschillende dansbewegingen mogelijk die samen een symmetrische groep vormen, de groep S4. Dat is nog te overzien. Maar wiskundigen hebben symmetriegroepen gevonden waarvan het aantal elementen groter is dan het aantal atomen in de zon. De grootste symmetriegroepen worden ‘het monster’ en ‘het babymonster’ genoemd. Het bewijs dat er niet meer monsters kunnen worden gevonden beslaat meer dan 5000 pagina’s. Dit prikkelt natuurlijk de fantasie en dankzij verschillende populair-wetenschappelijke publicaties zoals Symmetry and the Monster (Mark Ronan) en Het symmetrie-monster (Marcus du Sautoy) weten we nu waarom bepaalde wiskundigen met een licht autistische aanleg deze monsters uit hun geest te voorschijn hebben getoverd. De belangrijkste vraag die daarbij bij je opkomt is of God deze monsters wel nodig heeft gehad bij het scheppen van de wereld. En het antwoord schijnt te luiden dat Hij mogelijk wel een klein monstertje heeft gebruikt om enige orde te scheppen in de stortvloed aan elementaire deeltjes.

 

Zelf wil ik alleen begrijpen wat er met de vergelijkingen van de vijfde graad aan de hand is. Mario Livio heeft daar een heel boek aan gewijd: The Equation That Couldn’t Be Solved. Met mijn aanleg voor wiskunde moet ik het kunnen begrijpen. Maar dat valt toch wat tegen. In geen enkel boek wordt het precies uitgelegd. Wat ik wel begrijp is dat de weerbarstigheid van de vergelijking te maken heeft met het aantal manieren waarop je vijf verschillende kaarten op een rij kan leggen. Er zijn 120 manieren. Je zou ook vijf dansers rond een pentagoon, een regelmatig vijfvlak, kunnen laten dansen. Er zijn 120 verschillende dansbewegingen mogelijk. De helft daarvan, in totaal dus 60, weerspiegelen een verborgen symmetrie van de vergelijking van de vijfde graad. Deze groep wordt A5 genoemd ofwel de alternerende groep van permutaties van vijf objecten. Het blijkt nu dat de groep A5 de symmetrieën van een regelmatig twaalfvlak beschrijft. Plato noemde dit twaalfvlak de dodecaëder en vatte het op als het geheim van de hemel en het heelal. Het bestaat uit twaalf regelmatige vijfhoeken en je kunt bewijzen dat je voor voetballen precies zoveel vijfhoeken nodig hebt om de bal rond te maken. De rest kun je opvullen met zeshoeken.

 

Wat is nu het probleem? Marcus du Sautoy schrijft: ‘Wat Galois heeft ontdekt, is het verbazingwekkende feit dat deze symmetriegroep met zestig symmetrieën ondeelbaar is. Dus hoewel het getal 60 deelbaar is door 5 en 12, laat de symmetriegroep zich niet zodanig door een deelverzameling symmetrieën delen, dat je een zinnige verzameling bewegingen krijgt die de symmetrieën van een ander object vormen.’ Dat maakt dat de vergelijking van de vijfde graad in het algemeen niet met algebraïsche methoden opgelost kan worden.’

 

Ook een regelmatig twintigvlak, een icosaëder, weerspiegelt de 60 symmetrieën van A5. Een icosaëder bestaat uit 20 gelijkzijdige driehoeken en staat volgens Plato voor het element water.  De wiskundige Felix Klein was zo gefascineerd door dit veelvlak dat hij de icosaëder als het belangrijkste meetkundige object van de wiskunde beschouwde. Hij was ook de eerste die in 1884 liet zien dat er een relatie tussen de vergelijking van de vijfde graad en de symmetrieën van een icosaëder bestond. Je kunt echter ook naar de dansbewegingen van een groep van vijf dansers kijken en onderzoeken. Je moet dan wel eerst de 60 bewegingen schrappen die niet mee mogen doen. Wat je dan overhoudt zijn onder meer bewegingen waarbij twee paren dansers met elkaar van plaats wisselen. Als je een extra vijfde danser hebt, kun je het paar (34) één verwisseling van plaats laten maken en dan het paar (45) hetzelfde laten doen. Het paar (12) mag gewoon door blijven dansen. Het effect is dat de drie dansers aangegeven door de getallen 3, 4, en 5 een cyclus voltooien waarbij danser 3 op de plaats van 4, danser 4 op de plaats van 5 en danser 5 op de plaats van 3 terechtkomt. En dat is die verwevenheid die de symmetriegroep ondeelbaar maakt. Je laat paren van plaats wisselen, maar het effect is een zogeheten 3-cykel. De symmetrie van 2 levert een symmetrie van 3 op.

 

 

 

 

Zo zien we dat de vijf Platonische lichamen die in het werk van Euclides zo’n prominente rol spelen nog steeds voor de wiskunde van belang zijn. Naast de dodecaëder en de icosaëder heb je de kubus, de octaëder en de tetraëder. Een kubus bestaat uit zes vierkanten, een octaëder uit acht driehoeken en een tetraëder uit vier driehoeken. Als je twee tetraëders in elkaar schuift, krijg je een ster-tetraëder, de driedimensionale variant van de Davidster. Felix Klein heeft netjes bewezen dat de symmetrie van een tetraëder wordt beschreven door A4, de alternerende groep van permutaties van vier objecten. De kubus en de octaëder hebben de symmetrie van S4, de volledige groep van permutaties van vier objecten. De dodecaëder en de icosaëder hebben de symmetrie van A5.

 

Klein was zo gefascineerd door de icosaëder, omdat verschillende takken van de wiskunde aan de symmetriegroep A5 ontsprongen. A5 was de eerste ondeelbare symmetriegroep waarvan het aantal elementen niet door een priemgetal werd bepaald. In feite ging het om het eerste symmetrie-monster, maar dat werd niet zo aangevoeld omdat 60 symmetrieën voor een wiskundige niet veel is. Ook de drie dimensies waarin A5 zich meetkundig kan uitdrukken is niet veel. Het babymonster heeft daarvoor een ruimte met 196.883 dimensies nodig. Dus als we A5 een monster zouden willen noemen, dan zou het om het mini-monster gaan. Het aantal symmetrieën is bij A5 nog te overzien en er rolt vanzelf in drie dimensies de gulden snede uit. Ook kan de icosaëder mooi als kunstobject en als gebruiksvoorwerp benut worden. Dat weet ik omdat mijn vader vroeger bij de blikfabrieken werkte. Daar hadden ze de kunstenaar M.C. Escher een trommeltje laten ontwerpen in de vorm van een icosaëder.

 

 

 

 

De vraag die nu overblijft is naar de diepere betekenis van de dodecaëder en icosaëder. Omdat de academische wiskunde alleen gebruik maakt van de logica, kan zij die vraag niet beantwoorden. Daarvoor heeft zij de natuurkunde nodig die onderzoekt hoe de materiële werkelijkheid in elkaar zit. Maar die wetenschap is er nog niet in geslaagd het geheim van het heelal te doorgronden. Blijft over: de heilige geometrie. In deze tak van de meetkunde wordt de dodecaëder als een symbool voor de geschapen wereld gezien waarin alles aan verandering onderhevig is. De Hindoes noemen deze werkelijkheid Prakriti. Het is de wereld van de vijf elementen en de vijf zintuigen, de moederschoot van alle schepselen. Daarbovenuit gaat het mannelijke, scheppende principe van Purusha, de tijdloze bron van al het geschapene. Robert Lawlor merkt in Sacred Geometry op: ‘Het spel is dat van de constante wisselwerking tussen de icosaëder als de mannelijke Purusha en de dodecaëder als de vrouwelijke Prakriti. De icosaëder is een structuur van 12 hoekpunten en 20 vlakken. Het is een structuur van driehoeken, waarbij drie het dynamische “mannelijke” getal is. De androgyne dodecaëder als schenker van het leven heeft 12 vlakken en 20 hoekpunten en heeft de structuur van vijf, het getal van het leven (mannelijke 3 + vrouwelijke 2).’ Wie weet, heeft Lawlor wel gelijk. Tenzij de natuurkunde toch nog op een of ander babymonster stuit.

 

Herbert van Erkelens © 2010